1. ’99 センター追試験数学 II ・数学 B 必答問題 (配点 30)

[1] 0 < = θ < 360^{∘} のとき, y = sin^{3} θ − cos^{3} θ の最大値を求めてみよう. x = sin θ − cos θ とおくと, そのとる値の範囲は − \sqrt{[ア]} < = x < = \sqrt{[イ]} である. 等式 x^{2} = [ウ] − [エ] sin θ cos θ x^{3} = sin^{3} θ − 3 sin^{2} θ cos θ + 3 sin θ cos^{2} θ − cos^{3} θ を用いると y = −\frac{[オ]}{[カ]}x^{[キ]} + \frac{[ク]}{[ケ]}x となる.したがって, y は x = [コ] のとき最大値 [サ] をとる.このときのθの値は [シス]^{∘}または [セソタ]^{∘}である.

[2] a は 2 より小さい定数とする.関数 y = log_{2}(\frac{2}{3}x − a) において x = 4 のとき y = m であり, x = 13 のとき y = n であるとすると 2^{n} − 2^{m} = [チ] である.さらに, m, n がともに正の整数あるとすると, m = [ツ], n = [テ] となり, a = \frac{[ト]}{[ナ]}である.

2. ’99 センター追試験数学 II ・数学 B 必答問題 (配点 30)

座標平面上において, 放物線 y = 3x^{2}を C_{1}とし, 直線 y = −2x + 1 を l とする.

(1) C_{1}と l の交点の x 座標は [アイ], \frac{[ウ]}{[エ]}である.

(2) a, b は実数で, a > = 0 とし, 放物線 y = −x^{2} + ax + b を C_{2}とする. C_{1}と C_{2}は点 P (u, v) を通り, その点で同じ接線をもつとする.このとき u, v, b を a で表すと u = \frac{[オ]}{[カ]}a, v = \frac{[キ]}{[クケ]}a^{2}, b = −\frac{1}{[コサ]}a^{[シ]} である. さらに, l が C_{2}上のある点 Q における接線ならば a = [ス], b = [セ] となり, その点 Q の座標は ([ソ], [タチ]) である.

(3) a = [ス], b = [セ] のとき, l, C_{2}および直線 x = \frac{[ウ]}{[エ]}で囲まれた図形の面積は

\frac{[ツ]}{[テト]}

である.

3. ’99 センター追試験数学 II ・数学 B 選択問題 (配点 20)

四面体 OABC において, |\overrightarrow{CO}| = 2, |\overrightarrow{CA}| = |\overrightarrow{CB}| = 3, O̸CA = ^{}O̸CB = 60^{∘},^{}A̸OB = 90^{∘}とする.

(1) , 次の内積を求めると \overrightarrow{CO} · \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{CO} · \overrightarrow{CB} = [ア] \overrightarrow{CO} · \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{CO} · \overrightarrow{OB} = [イウ] \overrightarrow{CA} · \overrightarrow{CB} = [エ] となる.また |\overrightarrow{OA}| = |\overrightarrow{OB}| = \sqrt{[サ]}, |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{[カキ]} である.

(2) 辺 AB の中点を M とすると \overrightarrow{CO} · \overrightarrow{CM} = [ク] である.さらに, 線分 CM 上に点 P をとり, \overrightarrow{CP} = t\overrightarrow{CM} (0 < t < 1) とすると, \overrightarrow{OP}と\overrightarrow{CM}が直交するのは t = \frac{[ケ]}{[コサ]}のときである.

4. ’99 センター追試験数学 II ・数学 B 選択問題 (配点 20)

a を正の実数とし, 4 次方程式 x^{4} − (a^{2} − 3)x^{2} − ax + 2 = 0 · · · · · · · · · 1 ◯ を考える.

(1) 方程式 1 ◯の左辺は (x^{2} + ax + [ア])(x^{2} − ax + [イ]) と因数分解される.

(2) 方程式 1 ◯が実数解のみをもつのは a > = [ウ]\sqrt{[エ]}のときであり, 異なる二つの実数解と二つの虚数解をもつのは [オ] < a < [カ]\sqrt{[キ]}のときである.

(3) 方程式 1 ◯が異なる二つの実数解 u_{1}, u_{2}(u_{1} < u_{2}) と二つの虚数解 z_{1}, z_{2} もつとする.2 次方程式の解と係数の関係により u_{1} + u_{2} = [ク], u_{1}u_{2} = [ケ] である. 複素平面において, z_{1}と z_{2}を結ぶ直線と実軸との交点を v とする.u_{1} が v と u_{2}を結ぶ線分の中点であるならば [コ]u_{1} − 2u_{2} = −a である.このとき a = ^{\frac{[サ]\sqrt{[シ]}}{[ス]}} である.

5. ’99 センター追試験数学 II ・数学 B 選択問題 (配点 20)

さいころを続けて 8 回振る試行について考える.

(1) 8 回ともすべて奇数の目の出る確率は\frac{1}{[アイウ]} である.

(2) 8 回のうち, 偶数の目が 4 回, 奇数の目が 4 回出る確率は\frac{[エオ]}{[カキク]} である.

(3) 8 回のうち, 偶数の目が m 回, 奇数の目が n 回出るとき, 確率変数 X の値を

X = mn と定める.このとき, X は [ケ] 通りの値をとる.X = 7 となる確率は \frac{1}{[コサ]} であり, X = 15 となる確率は\frac{[シ]}{[スセ]}である.また，平均値 (期待値) は [ソタ] であり, X の分散は [チ] である.

6. ’99 センター追試験数学 II ・数学 B 選択問題 (配点 20)

次のような操作を行うプログラムを作った. · 正の整数 a, b をそれぞれ変数 X, Y に代入する. · X を 2 で割った商と余りを考え, 商をあらためて X とおくとともに, Y を 2 倍し, それをあらためて Y とおく.この操作を X が 0 になるまで続ける. · X が奇数になるときの Y の値の総和を求める. 以下のプログラムにおいて INT (X) は X を越えない最大の整数を表し, P <> Q は P ≠ Q を表す.

100 INP UT ”a = ”; A 110 INP UT ”b = ”; B 120 X = A : Y = B : S = 0 : K = 1 130 IF X <> [ア] ∗ INT (X/[イ]) T HEN S = S + Y 140 P RINT K, X, Y 150 K = K + 1 : X = INT (X/2) : Y = 2 ∗ Y 160 IF X > 1 T HEN GOT O [ウエオ] 170 P RINT S 180 END

(1) 上の 3 か所の空欄をうめて, このプログラムを完成せよ.

(2) このプログラムを実行し, a =?に 25, b =?に 100 を代入すると, 画面に

[カ] 個の行が新たに表示される.そのうち第 2 行目は

[キ] [クケ] [コサシ] であり, 最終行は [スセソタ] である.

(3) このプログラムを実行し, a =?に 256, b =?に 35 を代入すると, [チツ] 個の行が新たに表示される.そのうち最終行は [テトナニ] である. (注意 : (2),(3) において, プログラムの実行後に表示される Ok, Ready などの行は考えない)