1. ’99 センター追試験数学 I ・数学 A 必答問題 (配点 40)

［1］ 2 次関数 y = ax^{2} + bx − a^{2} + 12a + 12 は x = 4 で最大値をとるものとし, そのグラフを C とする.このとき b = −[ア]a が成り立つ.

(1) この 2 次関数の最大値が 7 のとき a = ［イウ］である.このとき, グラフ C が x 軸と交わる 2 点と, C が表す放物線の頂点で作られる三角形の面積は

\frac{[エ]\sqrt{[オカ]}}{[キ]}

である.

(2) グラフ C が点 (3, 8) を通るとき a = −[ク] である.このとき, C を y 軸に関して対称移動したグラフは, 頂点の座標が ([ケコ], [サシ]) の放物線である.

[2] 図のような街路があり, 隣り合う二つの曲がり角の間の距離はすべて 1 である.甲君は曲がり角 A から, 乙君は曲がり角 B から出発し, 次のように道を進むものとする.曲がり角ごとにおのおのがさいころを同時に振り, 出た目の数 1, 2, 3, 4, 5, 6 に応じて, それぞれ東, 東, 西, 南, 北, 北の方向に 1 だけ進む.ただし, 出た目の数に応ずる方向に道がない場合は, その反対方向に 1 だけ進むものとする.例えば, 曲がり角 E で 3 の目がでたら, 東に 1 だけ進む.

北南東西  A  B C D E

(1) 甲君が A から出発し, 2 回さいころを振って C に到達する確率は \frac{[ス]}{[セ]}であり, 4 回さいころを振って D に到達する確率は\frac{[ソ]}{[タチ]}である.

(2) 甲君と乙君がそれぞれ A と B から同時に出発し, 2 回さいころを振って出会わない確率は\frac{[ツテ]}{[トナ]}である.また, 3 回さいころを振って初めて E で出会う確率は\frac{[ニ]}{[ヌネノ]}である.

2. ’99 センター追試験数学 I ・数学 A 必答問題 (配点 40)

[1]

(1) 2 つの整式 A = x^{4} − 14x^{3} + ax^{2} − 249x + 325 B = x^{2} − bx + 18 を考える.B^{2}を計算すると B^{2} = x^{4} − [ア]bx^{3} + (b^{2} + [イウ])x^{2} − [エオ]bx + 324 となる.C = A − B^{2} とおくとき, C が x についての 1 次式になるのは a = [カキ], b = [ク] のときで, このとき, C = [ケ]x + 1 である.

(2) 二つの関数 f(x) = x^{2} − 6x + 13, g(x) = 4x − 4 を考える.正の整数 n で, f(n) < = g(n) を満たすものは全部で [コ] 個ある.このうち, f(n) が g(n) の約数になるような n は小さい順に [サ] と [シ] で, いずれのときも \frac{f(n)}{g(n)} = [ス] である.

[2] 円に内接する四角形 ABCD は AB = 2, BC = 3, CD = 1,^{}A̸BC = 60^{∘} を満たすとする.このとき C̸DA = [セソタ]^{∘}, AC = \sqrt{[チ]}, AD = [ツ] である. また sin^{}B̸AC = ^{\frac{[テ]\sqrt{[トナ]}}{14}}であり, BD = ^{\frac{[ニ]\sqrt{[ヌ]}}{[ネ]}} である.

3. ’99 センター追試験数学 I ・数学 A 選択問題 (配点 20)

(1) 初項が a, 公差 d の等差数列 {a_{n}} に対して, S_{n} = ∑_{k=1}^{n} a_{k}とおく.

このとき S_{10} = [ア]([イ]a + [ウ]d) である.ここで S_{10} = −5, S_{16} = 8 が成り立つとき

a = [エオ], d = \frac{[カ]}{[キ]}

であり, また, S_{1}, S_{2}, S_{3} ⋯ S_{100}の中で最小の値は [クケ] である.

(2) 初項 15, 公比 2 の等差数列を {b_{n}} とし, 正の整数 n を 4 で割ったときの余りを c_{n}とする.このとき c_{1} + c_{2} + ⋯ + c_{40} = [コサ] b_{1}c_{1} + b_{2}c_{2} + ⋯ + b_{40}c_{40} = [シス](2^{[セソ]} − 1) である.

4. ’99 センター追試験数学 I ・数学 A 選択問題 (配点 20)

長方形 ABCD は AB = CD = \sqrt{3}, BC = AD = 3 を満たすとする.点 P と点 Q がそれぞれ AD と BC 上を関係 AP · BQ = 3 · · · · · · 1 ◯ を満たしながら動く.AQ と BP の交点を R とし, R から AB に垂線を下ろす.また AB の中点を F とする.

次の文中の [アイ][ウエ] については, 当てはまる文字を A 〜 F のうちから選べ.ただし, アとイ, ウとエについては, 解答の順序は問わない. 点 R の軌跡を調べよう. \frac{BQ}{ER} = \frac{\sqrt{3}}{[アイ]}, \frac{AP}{ER} = \frac{\sqrt{3}}{[ウエ]} である.したがって, 1 ◯から ER^{2} = \frac{[オ]}{[カ]} − EF^{2} である.ゆえに F R = ^{\frac{\sqrt{[キ]}}{[ク]}} となり, R の軌跡は F を中心とする円の弧であり, その長さは \frac{\sqrt{[ケ]}}{[コ]}π である.

5. ’99 センター追試験数学 I ・数学 A 選択問題 (配点 20)

次のプログラムは自然数 A に対して, その平方根を近似する分数\frac{B}{C} を求めるものであり, ここでは\frac{B}{C} の代わりに B と C を並べて出力している.

100 INP UT A 110 B = 0 120 C = 1 130 B = B + 1 140 IF B ∗ B < A T HEN GOT O 130 150 P RINT B; ”, ”C 160 F OR D = 1 T O 4 170 C = 2 ∗ C 180 B = 2 ∗ B − 1 190 IF B ∗ B < A ∗ C ∗ C T HEN B = B + 1 200 P RINT B; ”, ”; C 210 NEXT D 220 END

(1) 2 を入力したとき [ア], 1 [イ], 2 [ウ], 4 [エオ], 8 [カキ], 16 と出力される.

(2) 5 を入力したとき [ク], 1 [ケ], 2 [コ], 4 [サシ], 8 [スセ], 16 と出力される.

(3) 第 150 行で表示される B の値は [ソ] である.[ソ] には, 次の 0 ◯ ∼ 3 ◯のうち当てはまるものを選べ. 0 ◯ A の 2 乗が n 以上となる最大の整数 n 1 ◯ n の 2 乗が A 以上になる最小の整数 n 2 ◯ A の 2 乗が n より大きくなる最大の整数 n 3 ◯ n の 2 乗が A より大きくなる最小の整数 n